Το μέγεθος της Γης

Η επιστημονική Σχολή της Αλεξάνδρειας

Η Αλεξάνδρεια χτίστηκε στις εκβολές του ποταμού Νείλου, από το Μεγάλο Αλέξανδρο, όταν αυτός κατέλαβε τη Μικρά Ασία, την Αίγυπτο και τη Περσία. Η πόλη αυτή έγινε σημαντικό κέ­ντρο παιδείας κατά τους τέταρτο, τρίτο και δεύτερο αιώνες π.Χ. Το Μουσείο της Αλεξάνδρειας (που λειτουργούσε σαν ακαδημία και πανεπιστήμιο) προσέλκυσε μερικούς από τους μεγαλύτερους Έλληνες σοφούς εκείνης της εποχής. Γύρω στο 300 π.Χ. ιδρύ­θηκε εκεί μια σχολή αστρονομίας – μια σχολή που έμελλε να ει­σαγάγει μια νέα νοοτροπία στην επιστήμη. Γιατί αυτοί οι αστρο­νόμοι επιδίωξαν να προσδιορίσουν ποσοτικά τα μεγέθη και τις αποστάσεις που χαρακτηρίζουν το ηλιακό σύστημα, μετατρέπο­ντας έτσι την αστρονομία σε “πραγματική” επιστήμη. Οι εικα­σίες είναι πολύ καλές, έλεγαν, αλλά πρέπει να στηρίζονται σε μετρήσεις. Ξεκίνησαν προσπαθώντας να μετρήσουν το μέγεθος της Γης.

Πόσο μεγάλος ήταν ο κόσμος όπου ζούσαν; Ένας από τους πρώτους υπολογισμούς του μεγέθους της Γης έγινε γύρω στο 235 π.Χ. από τον Έλληνα αστρονόμο Ερατοσθένη. Η μέθοδος μέ­τρησης που χρησιμοποίησε ήταν αναγκαστικά έμμεση. Αυτό ήταν φυσικό αφού, το 235 π.Χ., οι Έλληνες γνώριζαν ελάχιστα πράγματα για τον κόσμο. Και, φυσικά, ο Ερατοσθένης δεν είχε στη διάθεση του τα σημερινά τεχνολογικά μέσα, όπως είναι οι ραδιοεπικοινωνίες και οι διαστημικές πτήσεις! Παρ’ όλα αυτά, ξεκινώντας από την υπόθεση ότι η Γη είναι σφαιρική, κατάφερε να βρει μια τιμή για την περιφέρεια (και κατά συνέπεια, για την ακτίνα) της Γης που πλησιάζει πάρα πολύ την τιμή που είναι γενικά δεκτή σήμερα. (Πιστεύουμε ότι η τιμή του Ερατοσθένη παρουσιάζει μια απόκλιση μικρότερη από 5% σε σχέση με τη σημερινή τιμή).

Η μέθοδος του Ερατοσθένη

Να πώς έλυσε αυτό το πρόβλημα ο Ερατοσθένης. Έκανε την υπόθεση ότι ο Ήλιος είναι τόσο μακριά από τη Γη, ώστε όλες οι ακτίνες του που φτάνουν σ’ αυτήν είναι ουσιαστικά παράλληλες. Μετά σύγκρινε, την ίδια χρονική στιγμή, τη διεύθυνση της κα­τακόρυφου σε δυο διαφορετικά σημεία στην επιφάνεια της Γης με τη διεύθυνση των ηλιακών ακτίνων.

τοπική κατακόρυφος

Σχήμα 1. Οι παράλληλες ακτίνες του Ήλιου μας παρέχουν μια διεύθυνση ανα­φοράς για όλα τα σημεία που “βλέπουν” προς τον Ήλιο. Η διεύθυνση της τοπικής κατακόρυφου (δηλαδή, η διεύθυνση κατά την οποία θα κρεμόταν ένα νήμα της στάθμης σ’ αυτό το μέρος) είναι, εξ ορισμού, η διεύθυνση που ορίζεται από μια ευ­θεία που περνά απ’ αυτό το σημείο της επιφάνειας της Γης και από το κέντρο της Γης. Μ’ άλλα λόγια, η τοπική κατακόρυφος έχει την ίδια διεύθυνση με την ακτίνα της Γης που καταλήγει σ’ αυτό το σημείο της επιφάνειας της (το νήμα της στάθ­μης δείχνει προς το κέντρο της Γης, αν παραδεχτούμε ότι η Γη είναι εντελώς σφαιρική).”

Πώς μπόρεσε όμως ο Ερατοσθένης να κάνει δύο μετρήσεις σε δύο διαφορετικά σημεία της επιφάνειας της Γης την ίδια χρονική στιγμή; Αν οι Έλληνες είχαν αξιόπιστα ρολόγια, που να μπορούν να τα συγ­χρονίσουν και μετά να τα μεταφέρουν, θα μπορούσε να βάλει ένα βοηθό του να κάνει τη μέτρηση στο ένα σημείο σε κάποια προ­συμφωνημένη χρονική στιγμή (που θα την προσδιόριζε με το ένα ρολόι), ενώ αυτός θα έκανε τη μέτρηση στο άλλο σημείο την ίδια χρονική στιγμή (που κι αυτός θα την προσδιόριζε με το άλ­λο ρολόι). Οι Έλληνες όμως δεν είχαν τέτοια ρολόγια. Έτσι, ο Ερατοσθένης έλυσε το πρόβλημα του συγχρονισμού των μετρή­σεων, κάνοντας τις μετρήσεις του το μεσημέρι (δηλαδή την ώρα που ο Ήλιος βρίσκεται στο ψηλότερο σημείο στον ουρανό), σε δύο μέρη που βρίσκονται (όπως θα λέγαμε σήμερα) πάνω στον ίδιο μεσημβρινό.

Γιατί διάλεξε δύο μέρη που να βρίσκονται πάνω στον ίδιο μεσημβρινό;

Ο μεσημβρινός είναι μια γραμμή που διατρέχει τη Γη με διεύθυν­ση Βορρά-Νότου και περνά από τους δύο πόλους. Κατά συνέ­πεια, όλα τα σημεία που βρίσκονται πάνω σε μια τέτοια γραμμή έχουν μεσημέρι (δηλαδή την ώρα της μέρας που η περιστροφή της Γης γύρω από τον εαυτό της φέρνει τον Ήλιο στο ψηλότερο σημείο πάνω στον ουρανό) την ίδια χρονική στιγμή.

Τα δύο μέ­ρη που επέλεξε ο Ερατοσθένης ήταν η Αλεξάνδρεια (όπου εργα­ζόταν) και η Συήνη – το σημερινό Ασσουάν -, η οποία βρισκό­ταν σε απόσταση 805 σχεδόν χιλιομέτρων νότια της Αλεξάνδρειας. Σήμερα είναι εύκολο να αναφέρουμε αυτήν την απόστα­ση, αλλά η μέτρηση αυτή θα ήταν πολύ δύσκολη για τον Ερατο­σθένη. Δεν είμαστε βέβαιοι για το πώς ακριβώς έλυσε αυτό το πρόβλημα – οι διάφορες ιστορικές αφηγήσεις δεν είναι σαφείς σχετικά μ’ αυτό το σημείο. Άλλοι ισχυρίζονται ότι υπολόγισε την απόσταση από τη σταθερή ταχύτητα με την οποία ταξίδευαν τα καραβάνια – 100 στάδια την ημέρα επί 50 ημέρες, που μας δί­νει ένα σύνολο 5.000 σταδίων. (Το στάδιο ήταν η μονάδα μήκους που χρησιμοποίησε ο Ερατοσθένης. Υπάρχει κάποια αμφιβολία για τη σχέση της με τις σημερινές μονάδες μήκους.

Ο Ρωμαίος συγγραφέας Πλίνιος υποστηρίζει ότι το στάδιο του Ερατοσθένη είχε τέτοιο μήκος, ώστε στο ρωμαϊκό μίλι αντιστοιχούσαν 10 στάδια – το ρωμαϊκό μίλι ήταν 1% περίπου μικρότερο από το ση­μερινό μίλι. Για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς, θα θεω­ρήσουμε ότι 1 στάδιο = 0,1 σημερινά μίλια, επομένως 5.000 στάδια = 500 μίλια = 805 χιλιόμετρα). Από άλλες πηγές προ­κύπτει ότι η απόσταση αυτή ήταν γνωστή από αιγυπτιακούς το­πογραφικούς χάρτες, για τους οποίους οι μετρήσεις είχαν γίνει από επαγγελματίες “βηματιστές”, εκπαιδευμένους να περπατούν με ίσους διασκελισμούς και να μετρούν τα βήματα τους! Όποια τεχνική και αν χρησιμοποιήθηκε, το έδαφος ανάμεσα στην Αλε­ξάνδρεια και τη Συήνη ήταν, ευτυχώς, αρκετά ομαλό, ώστε να μπορέσει να γίνει η μέτρηση.

Ποιες παρατηρήσεις έκανε όμως ο Ερατοσθένης στην Αλεξάν­δρεια και στη Συήνη και πώς αυτές οι παρατηρήσεις του επέτρε­ψαν να υπολογίσει το μέγεθος της Γης; Η παρατήρηση που έκα­νε στη Συήνη ήταν πολύ απλή. Ήξερε από διάφορα αρχεία της Συήνης ότι, ακριβώς το μεσημέρι της μέρας του θερινού ηλιο­στασίου, το ηλιακό φως που έπεφτε σ’ ένα πολύ βαθύ πηγάδι, το οποίο υπήρχε στην περιοχή, έφτανε στην επιφάνεια του νερού και αντανακλάτο και πάλι προς τα πάνω. (Τα αρχεία έλεγαν ότι το νερό αυτού του συγκεκριμένου πηγαδιού ήταν ορατό μόνο το μεσημέρι της μέρας του θερινού ηλιοστασίου. Σήμερα θα λέγαμε ότι η Συήνη βρίσκεται στον τροπικό του Καρκίνου).

Σε τι συμπέρασμα κατέληξε ο Ερατοσθένης από το γεγονός αυτό;

Ο Ερατοσθένης συμπέρανε ότι η διεύθυνση του ηλιακού φωτός και η διεύθυνση της τοπικής κατακόρυφου της Συήνης ταυτίζο­νταν μεταξύ τους εκείνη τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Δη­λαδή, το μεσημέρι της μέρας του θερινού ηλιοστασίου, ο Ήλιος έπεφτε “κατακόρυφα” στη Συήνη. Επομένως, η γωνία ανάμεσα στη διεύθυνση των ηλιακών ακτίνων και στη διεύθυνση της το­πικής κατακόρυφου ήταν μηδέν μοίρες. (Μια μοίρα ορίζεται ως το 1/3606 τμήμα ενός πλήρους κύκλου).

Η μέθοδος του Ερατοσθένη

Σχήμα 2. Αν γνωρίζουμε το ύψος του στύλου, καθώς και το μήκος της σκιάς που ρίχνει, μπορούμε να φτιάξουμε ένα διάγραμμα υπό κλίμακα (σαν αυτό που φαίνε­ται εδώ), που θα μας επιτρέψει να μετρήσουμε τη γωνία ανάμεσα στην κατακόρυφο (τη διεύθυνση του στύλου) και τη διεύθυνση των ακτίνων του Ήλιου. (Προσέξτε ότι αυτή η γωνία είναι ίση με τη γωνία που φαίνεται στο Σχήμα 1, ανάμεσα στις ακτίνες του Ήλιου και την κατακόρυφο, δηλαδή τη γωνία που εδώ σημειώνεται με το κόκκινο γράμμα).

Κατά συνέπεια, αν ο Ερατοσθένης μετρούσε επίσης και τη γωνία ανάμεσα στη διεύθυνση των ακτίνων του Ήλιου και τη διεύθυν­ση της τοπικής κατακόρυφου γραμμής της Αλεξάνδρειας, το με­σημέρι της μέρας του θερινού ηλιοστασίου, θα μετρούσε, ουσια­στικά, τη γωνία ανάμεσα στην ακτίνα της Γης που καταλήγει στη Συήνη και την ακτίνα της Γης που καταλήγει στην Αλεξάν­δρεια. Αυτές οι δύο (ίσες) γωνίες σημειώνονται με το γράμμα Θ στο Σχήμα 1. Ο Ερατοσθένης όμως είχε τώρα να αντιμετωπίσει ένα άλλο πρό­βλημα. Είναι εύκολο να πει κανείς: να μετρήσουμε τη γωνία ανάμεσα στις ακτίνες του Ήλιου και την τοπική κατακόρυφο. Πώς όμως μπορούσε να γίνει κάτι τέτοιο στην πράξη;

Η λύση είναι να στηριχτούμε στο γεγονός ότι, αν ο Ήλιος δε βρίσκεται κατευθείαν πάνω από ένα σημείο της επιφάνειας της Γης, ρίχνει σκιές. Έτσι, τοποθετώντας στο έδαφος της Αλεξάν­δρειας έναν κατακόρυφο στύλο, του οποίου ήξερε το μήκος, και μετρώντας το μήκος της σκιάς που έριχνε ο στύλος το μεσημέρι της μέρας του θερινού ηλιοστασίου, ο Ερατοσθένης μπόρεσε να συμπεράνει ότι η γωνία ανάμεσα στις ακτίνες του Ήλιου και την κατακόρυφο της Αλεξάνδρειας ήταν 7,5 μοίρες (Σχήμα 2).

Επομένως, η γωνία ανάμεσα στις δύο ακτίνες της Γης -ανάμεσα σ’ αυτήν που καταλήγει στην Αλεξάνδρεια και σ’ αυτήν που κατα­λήγει στη Συήνη – είναι επίσης 7,5 μοίρες. Η Αλεξάνδρεια όμως και η Συήνη απέχουν μεταξύ τους 805 χιλιόμετρα. Επομένως, αν 7,5 μοίρες ανάμεσα σε δύο ακτίνες της Γης αντιστοιχούν σε 805 χιλιόμετρα κατά μήκος της περιφέρειας της Γης (Σχήμα 3), τότε:

1 μοίρα ανάμεσα σε δυο ακτίνες θα αντιστοιχεί σε 805/7,5 χιλιόμετρα κατά μήκος της περιφέρειας.

Ακτίνα της Γης

Σχήμα 3. Μια γωνία 7,5 μοιρών ανάμεσα στις δύο ακτίνες της Γης αντιστοιχεί σε μιαν απόσταση 805 χιλιομέτρων κατά μήκος της περιφέρειας της Γης.

Μ’ αυτό τον τρόπο, λοιπόν, ο Ερατοσθένης μπόρεσε να προσδιο­ρίσει κατά προσέγγιση την περιφέρεια της Γης. Για να βρει τώ­ρα την ακτίνα χρειαζόταν ένα σχετικά εύκολο βήμα. Οι Έλλη­νες γνώριζαν από καιρό ότι σε οποιονδήποτε κύκλο, όσο μεγά­λος ή μικρός κι αν είναι, ο λόγος ανάμεσα στο μήκος της περι­φέρειας του και στη διάμετρο του είναι πάντα ο ίδιος. Τώρα έχει πια καθιερωθεί να σημειώνουμε το σταθερό αυτό λόγο με το γράμμα π.


Μέτρηση του ηλιακού συστήματος – The Open University